Retângulo Áureo - Natureza e Arte

Vamos compreender e conhecer:  o que é e como é construído um retângulo áureo.

A Geometria explica muita coisa, de maneira figurada e a partir de sua matemática, desde há muito tempo.

Os gregos, concluíram que a relação entre os lados maior e menor do denominado triângulo áureo resultaria no número Phi. Esta razão representava harmonia estética. O número Phi - 1,618033988749894848204 é chamado razão áurea ou proporção áurea. Foi definido, cientificamente, por Euclides, em 300 A.C. Daqui em diante, para facilitar, vamos mencioná-lo com duas casas após a vírgula : 1,618

A razão ou proporção áurea é encontrada na natureza, nas artes e na arquitetura. 

Pinhas, conchas e o próprio corpo humano apresentam proporções áureas. Piet Mondrian, Le Corbusier e Leonardo da Vinci entre outros artistas, matemáticos e arquitetos, desde a Grécia clássica até os dias atuais, incorporavam e incorporam a razão ou proporção áurea em seus trabalhos. 

A razão áurea ou a proporção áurea é a mais agradável proporção entre dois segmentos e duas medidas. É a busca permanente da harmonia e da beleza.

A razão áurea exprime o movimento, pois mantém-se em espiral até ao infinito, e o retângulo áureo exprime a beleza, pois é uma forma geométrica agradável à vista. Assim, o retângulo áureo passou a ser presença constante nas pinturas, esculturas e arquitetura. 

Monalisa - Leonardo Da Vinci

Saber mais sobre (Clicar) Monalisa

Antonio Stradivari usava a razão
 áurea na construção de seus violinos, 
tanto para definir suas curvas, 
quanto para suas proporções gerais.

A proporção áurea ou razão áurea foi muito usado pelos gregos clássicos, insistentemente durante sua busca do belo a partir das proporções, com o objetivo de atingir a perfeição dos "arquétipos do Monte Olimpo". É sabido que foi estudado antes mesmo, como já mencionado, do tempo de Euclides de Alexandria. Mas foi ele que teorizou sobre desenvolvendo a seguinte análise matemática:

A partir desta análise pode se afirmar que o retângulo áureo surge a partir da divisão da base desse retângulo pela sua altura e daí se obtém o número 1,618 - considerado número de harmonia  (Número de ouro, razão áurea ou proporção áurea). Phi ou f de Fídias. No final, mais sobre este escultor grego.

1,618 = ((Raiz quadrado de 5) + 1)/2

Para os antigos gregos clássicos era considerado a proporção divina.

Construção de um retângulo áureo

É muito fácil construir o retângulo áureo. Em síntese, primeiro desenha um quadrado - CDBA. Em seguida, desenha uma linha diagonal que tem centro no quadrado e final no seu canto superior direito - D. Esta linha diagonal serve de raio para o arco que vai além dos limites do quadrado e possui como limite final a sua base. a ponta do arco define a largura do retângulo áureo, que formado pela junção do quadrado inicial, mais o seu prolongamento.

Exemplos do triângulo áureo nas artes e na arquitetura:

A Grande Pirâmide de Gizé - Egito -  o quociente entre a altura de uma face pela metade do lado da base é quase igual a   Phi = 1,618.

Partenon - Grécia clássica. Construído em Atenas no século V A.C. Suas dimensões podiam ser encaixadas quase exatamente em um retângulo áureo. O Retângulo de Ouro está na razão entre o comprimento e a largura na sua base e fachada.

No seu livro -  “Os Elementos” - Euclides utilizou a razão áurea para construir o primeiro pentágono regular e os dois sólidos regulares mais complexos, o dodecaedro (12 faces pentagonais) e o icosaedro (20 faces triangulares).

Frei Luca Paciolo

Frei Luca Pacioli publicou, em 1509, um livro com o titulo de “De Divina Proportione”, com ilustrações de sólidos platônicos realizados pelo seu amigo Leonardo Da Vinci, no qual relaciona a razão áurea a polígonos regulares e sólidos platônicos.

Johannes Kepler baseou a sua teoria cósmica nos cinco sólidos platônicos e na sua relação com a razão áurea.

Kepler

Le Corbusier

O arquiteto francês Le Corbusier, considerado por alguns teóricos, o arquiteto que deu a sequência da arquitetura clássica grega, usou muito a proporção áurea e suas criações arquitetônicas e paisagísticas.

Les Modulor de Le Corbusier

É a relação de medidas baseadas na divisibilidade do corpo humano em proporção harmônica.

1 - A partir da altura máxima de ocupação de espaço pelo corpo humano (distância do chão às pontas dos dedos com o braço levantado) e da metade dessa altura (até o plexo solar) criou duas séries de valores em relação áurea. Essas séries foram obtidas a partir da divisão harmônica desses comprimentos, que constituem uma gama de medidas humanas.

2 - Na série estabelecida a partir da altura do plexo solar, (a que chamou série vermelha) o termo que lhe sucede imediatamente coincide com a altura do homem (175 ou 183). O termo principal da série azul, altura do homem com o braço levantado (216 ou 226), coincide com a adição dos três termos principais da série vermelha. Pela combinação dos termos principais das duas séries obtêm-se os valores de ocupação do corpo humano.

3 - A princípio Le Corbusier partiu da estatura média do homem da Europa (1.75m) para determinar os valores numéricos dos vários comprimentos. Os valores inferiores assim encontrados foram para a série vermelha. Os valores exatos obtidos pela divisão harmônica foram depois arredondados tendo-se obtido assim os chamados valores de aplicação.

4 - Pode-se obter valores maiores a partir de 2.26m, basta multiplicar porf = 1,618.

Na atualidade algumas construções, como por exemplo, o edifício das Nações Unidas, em Nova Iorque, e até objetos  do dia a dia, como, por exemplo, o cartões de crédito, tem suas dimensões a partir da razão áurea e mesmo outras criações publicitárias.

Curiosidades...

Pentágono - Do latim : pentagonum; do grego - pénta (cinco) e gon de gônia (ângulo): péntagonos - polígono de 5 vértices, 5 lados e 5 ângulos

O homem vitruviano de Leonardo da Vinci

Muito interessante as proporções do pentágono,
 a partir do qual pode visualizar demais proporções 
e construir outro polígonos, inclusive o 
retângulo áureo e a espiral logarítmica

Decágono - Do latim: decagonu; do grego: dekágonos, deka (dez) e gônia (ângulo) - polígono de 10 vértices, 10 ângulos e 10 lados. Os antigos afirmavam que a razão do raio do círculo de um decágono regular para um dos lados é a razão áurea.

Triângulo áureo

É um triângulo isósceles ABC com  ângulos da base de 72° e ângulos de ápice 36°. É encontrado no Pentagrama místico e a partir dele é possível desenhar uma espiral logarítmica.

Fibonacci

Leonardo Fibonacci nasceu em Pisa, em 1175. Quando jovem, mesmo nascendo em berço cristão, estudou entre os maometanos da Barbaria, onde conheceu o sistema arábico (ou decimal) de numeração, bem como os ensinamentos de álgebra de Alkarismi. 

Com aproximadamente vinte e sete anos de idade, retornou à sua terra natal e então publicou o livro do ábaco - Liber Abaci, obra na qual demonstrava as grandes vantagens do sistema arábico de numeração sobre o romano, deu origem à seqüência de números de Fibonacci: as sucessivas razões entre um número e o que o antecede vão-se aproximando do número de ouro, ou da proporção ou razão áurea.

A obra de Fibonacci foi considerada diretriz por durante duzentos anos e o principal veículo de introdução ao sistema hindu-arábico de notação nas camadas cultas da Europa Cristã. 

Fibonacci apresentou um quebra cabeça matemático que deu origem à série de Fibonacci relacionada com a criação de coelhos. Esta série segue a regra segundo a qual, cada termo é a soma dos dois termos imediatamente anteriores:

Un+1=Un+Un-1(U0= 0, U1=1)

Ex..: 1 : 1 : 2 : 3 : 5 : 8...

Espiral Logarítmica ou Espiral de Ouro

Um retângulo áureo tem a interessante propriedade: se o dividirmos em um quadrado e um retângulo, o novo retângulo também é áureo. Repetido este processo infinitamente e unidos os cantos dos quadrados gerados, obtém-se uma espiral a que se dá o nome de espiral logarítmica ou de ouro.

Em 1855, o matemático alemão Zeizing formulou o seguinte princípio:

"Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo."

Esta afirmativa, tem relação e identificação com os estudos da atual física quântica. Ou seja, universo dentro de universos a partir do equilíbrio - Holografia (A menor partícula possível é uma cópia do universo).

Continuando...

Fídias

A divisão de um segmento, feita segundo essa proporção denomina-se divisão áurea - de Euclides. Divisão áurea, também conhecida por secção divina pelo matemático Luca Pacioli ou secção áurea segundo Leonardo da Vinci. Nós denominamos proporção áurea ou ainda razão áurea.

O número de ouro é representado pela letra , em homenagem a Fídias (Phideas), famoso escultor grego, por ter usado a proporção de ouro em muitos dos seus trabalhos.

O número é também utilizado para desenhar espirais semelhantes às que encontramos na Natureza, como por exemplo no centro dos girassóis, nas pinhas, flores, moluscos...

Não é só na Terra que existem a proporção áurea. Nas galáxias, as estrelas se distribuem em torno de um astro principal numa espiral obedecendo à proporção de 1,618. 

Leonardo da Vinci adotou a proporção áurea em sua obra, pois como pesquisador da anatomia humana, a partir de pesquisas e medições de partes de corpos humanos, concluiu que o corpo humano tem sempre presente a proporção áurea em suas partes. 

Exemplos do corpo humano


Dividir a altura do corpo pela altura do umbigo até o chão, resultará 1,618.

Medir o braço inteiro e depois dividir  pelo tamanho do cotovelo até o dedo, resultará em 1,618.

Medir os dedos inteiros e depois dividir pela dobra central até a ponta ou da dobra central até a ponta dividido pela segunda dobra resultará em 1,618.

Medir a perna inteira e dividir pelo tamanho do joelho até o chão, resultará em 1,618. 

Medir a altura do crânio dividido pelo tamanho da mandíbula até o alto da cabeça resultará em 1,618.
...Entre outras tantas razões...

Também, coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis, árvores, arte e o homem; coisas teoricamente diferentes, todas ligadas numa proporção em comum. 

Como já mencionamos, a física quântica vem estudando estas proporções sob outro ponto de vista, após já ter sido usado pelas artes. Muita coisa para conhecermos, a partir da menor partícula ou de sua proporção.

Muito conhecimento está para ser revelado, através da matemática, física quântica, holografia, ou a partir de um polígono áureo ou dimensões áureas, ou ainda, do universo dentro de universos. 
O segredo está na harmonia e no equilíbrio, responsável pela beleza, a partir do natural, muitas vezes imitado na obra construída pelo homem, que tenta, há muito tempo, imitar os deuses e reproduzir a beleza das obras divinas - os arquétipos.

Resumo - Vídeo.
Vale a pena assistir...de fácil assimilação.